已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，若bk=am

题文

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，记S_n为数列{b_n}的前n项和，
（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整数），求证：S_k-1=（m-1）a₁；
（2）若b₃=a_i（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列{b_n}中每一项都是数列{a_n}中的项；
（3）是否存在这样的正数q，使等比数列{b_n}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由； 题型：未知 难度：其他题型

答案

设{a_n}的公差为d，由a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，知d≠0，q≠1，d=a₁（q-1）（a₁≠0）
（1）因为b_k=a_m，所以a₁q^k-1=a₁+（m-1）a₁（q-1），q^k-1=1+（m-1）（q-1）=2-m+（m-1）q，
所以Sk-1=a1(1-qk-1)1-q=a1(m-1-(m-1)q)q=(m-1)a1
（2）b₃=a₁q²，a_i=a₁+（i-1）a₁（q-1），由b₃=a_i，
所以q²=1+（i-1）（q-1），q²-（i-1）q+（i-2）=0，解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数，设数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺），设数列{a_n}中的某一项a_m（m∈N⁺）=a₁+（m-1）a₁（q-1）
现在只要证明存在正整数m，使得b_n=a_m，即在方程a₁q^n-1=a₁+（m-1）a₁（q-1）中m有正整数解即可，qn-1=1+(m-1)(q-1)，m-1=qn-1-1q-1=1+q+q2+qn-2，所以m=2+q+q²+q^n-2，若i=1，则q=-1，那么b_2n-1=b₁=a₁，b_2n=b₂=a₂，当i≥3时，因为a₁=b₁，a₂=b₂，只要考虑n≥3的情况，因为b₃=a_i，所以i≥3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{b_n}中任意一项为b_n=a₁q^n-1（n∈N⁺）与数列{a_n}的第2+q+q²+q^n-2项相等，从而结论成立．
（3）设数列{b_n}中有三项b_m，b_n，b_p（m＜n＜p，m，n，p∈N⁺）成等差数列，则有
2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^p-1，设n-m=x，p-n=y，（x，y∈N⁺），所以2=1qx+qy，令x=1，y=2，则q³-2q+1=0，（q-1）（q²+q-1）=0，因为q≠1，所以q²+q-1=0，所以q=5-12(舍去负值)，即存在q=5-12使得{b_n}中有三项b_m，b_m+1，b_m+3（m∈N⁺）成等差数列．

解析

a1(1-qk-1)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是等差数列，{bn}是公比为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．