在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|OP|：|PA|=1：2，|OQ|：|QB|=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若OA=a，OB=b．（

题文

在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|OP|：|PA|=1：2，|OQ|：|QB|=3：2，连接AQ、BP，设它们交于点R，若OA=a，OB=b．
（Ⅰ）用a与b表示OR；
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若|a|=1，|b|=2，a与b的夹角θ∈[π3，2π3]，求|BH||BA|的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由OA=a，点P在边OA上且|OP|：|PA|=1：2，
可得OP=12（a-OP），
∴OP=13a．同理可得OQ=35b．（2分）
设AR=λAQ，BR=μBP(λ，μ∈R)，
则OR=OA+AR=OA+λAQ=a+λ(35b-a）=（1-λ）a+35λb，
OR=OB+BR=OB+μBP=b+μ(13a-b）=13μa+（1-μ）b．（4分）
∵向量a与b不共线，
∴1-λ=13μ35λ=1-μ解得λ=56，μ=12
∴OR=16a+12b．（5分）
（II）设|BH||BA|=γ，则BH=γBA=γ（a-b），
∴RH=BH-BR=BH-(OR-OB)=γ（a-b）-（16a+12b）+b=(γ-16)a+（12-γ)b．（6分）
∵RH⊥BA，
∴RH•BA=0，
即[(γ-16)a+（12-γ)b]•（a-b）=0(γ-16)a²+（12-γ)b²+(23-2γ)a•b=0（8分）
又∵|a|=1，|b|=2，a•b=|a||b|cosθ=2cosθ，
∴(γ-16)+4(γ-12)+(23-2γ)(2cosθ)=0
∴γ=16×13-8cosθ5-4cosθ=16(35-4cosθ+2)．（10分）
∵θ∈[π3，2π3]，
∴cosθ∈[-12，12]，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴16(37+2)≤γ≤16(33+2)，即1742≤γ≤12．
故|BH||BA|的取值范围是[1742 ， 12]．（12分）

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。