已知向量m=(2x-2，2-3y)，n=(3y+2，x+1)，且m∥n，OM=(x，y)．求点M的轨迹C的方程；是否存在过点F（1，

题文

已知向量m=(2x-2，2-3y)，n=(3y+2，x+1)，且m∥n，OM=(x，y)（O为坐标原点）．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相 交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵向量m=(2x-2，2-3y)，n=(3y+2，x+1)，且m∥n
∴（2x-2）（x+1）-（2-3y）(3y+2)=0
化简可得，点M的轨迹C的方程为x23+y22=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m²+3）y²+4my-4=0
∴y₁+y₂=-4m2m2+3，y₁y₂=-42m2+3
假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为OP=OA+OB
∴P（x₁+x₂，y₁+y₂）
∴(x1+x2)23+(y1+y2)22=1
∴2x21+3y21+2x22+3y22+4x₁x₂+6y₁y₂=6
∵A，B在椭圆上，∴2x21+3y21=6，2x22+3y22，=6
∴2x₁x₂+3y₁y₂=-3
∵y₁+y₂=-4m2m2+3，y₁y₂=-42m2+3
∴m=±22
当m=22时，y₁=-2，y₂=22，∴x₁=0，x₂=32
∴OA=(0，-2)，OB=(32，22)
∴cos∠AOB=OA•OB|OA||OB|=-211
∴sin∠AOB=311
∴平行四边形OAPB的面积为|OA||OB|sin∠AOB=322
当m=-22时，同理可得平行四边形OAPB的面积为322
故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．

解析

m

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(2x-2，2-3y)，n=.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。