已知圆C的中心在原点O，点P、A、B都在圆C上，且OA+OB=mOP．求圆C的方程及直线AB的斜率；当△OAB的面积取得最大值时

题文

已知圆C的中心在原点O，点P（2，2）、A、B都在圆C上，且OA+OB=mOP （m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）当△OAB的面积取得最大值时，求直线AB的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²=r²，
∵点P（2，2）在圆C上，∴r²=8
∴圆C的方程为x²+y²=8
∵A、B都在圆C上，OA+OB=mOP
∴A，B关于直线OP对称
∵直线OP的斜率为1
∴直线AB的斜率为-1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+b，则圆心到直线AB的距离为d=|b|2
∴|AB|=28-b22
∴△OAB的面积为12×28-b22×|b|2=(8-b22)×b22≤8-b22+b222=4
当且仅当8-b22=b22，即b=±22时，△OAB的面积取得最大值4
此时直线AB的方程为y=-x±22．

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知圆C的中心在原点O，点P（2，2）、.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。