设A，B是函数f=12+log2x1-x图象上任意两点，且OM=12(OA+OB)，已知点M的横坐标为12．求点M的纵坐

题文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=12+log2x1-x图象上任意两点，且OM=12(OA+OB)，已知点M的横坐标为12．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知112，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意由OM=12(OA+OB)知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为12，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即x1+x22=12⇒x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(x11-x1•x21-x2)=1+log21=1⇒y1+y22=12
即M点的纵坐标为定值12．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时Sn=f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)
∴Sn=f(n-1n)+f(n-2n)+••+f(1n)
两式想加得，2S_n=n-1
Sn=n-12
②当n≥2时，an=1(Sn+1)(Sn+1+1) =4(n+1)(n+2)=4（1n+1-1n+2）
又n=1时，a₁=23也适合．
∴a_n=4（1n+1-1n+2）                                                                                     
∴Tn=42×3+43×4++4(n+1)(n+2)=4(12-13+13-14++1n+1-1n+2)=4(12-1n+2)=2nn+2(n∈N*)
由2nn+2≤λ(n2+1)恒成立(n∈N*)⇒λ≥4nn2+4n+4
而4nn2+4n+4=4n+4n+4≤44+4=12（当且仅当n=2取等号）
∴λ≥12，∴λ的最小正整数为1．

解析

OM

考点

据考高分专家说，试题“设A（x1，y1），B（x2，y2）是函.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。