已知椭圆C的方程为x2a2+y22=1，其焦点在x轴上，点Q(22，72)为椭圆上一点．求该椭圆的标准方程；设动点P满足OP

题文

已知椭圆C的方程为x2a2+y22= 1（a＞0），其焦点在x轴上，点Q(22，72)为椭圆上一点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P（x₀，y₀）满足OP=OM+2ON，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为-12，求证：x20+2y20为定值；
（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为点Q(22，72)为椭圆上一点，
所以12a2+78=1，解得a²=4，
所以椭圆方程为x24+y22=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又kOM•kON=y1x1•y2x2=-12，化简得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是椭圆C上的点，所以x124+y122=1，x224+y222=1，即x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由OP=OM+2ON，⇒x0=x1+2x2y0=y1+2y2，
所以x02+2y02=(x1+2x2)2+2(y1+2y2)2
=(x12+2y12)+4(x22+2y22)+4x1x2+8y1y2
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；                                     
（3）由（2）知，动点P（x₀，y₀）满足x02+2y02=20，即x0220+y0210=1，
所以点P的轨迹是以(±10，0)为焦点的椭圆．
故存在点A（10，0）、B（-10，0），使得|PA|+|PB|=45（定值）．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C的方程为x2a2+y22=1（.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。