题文
已知
=（cosα，sinα）,
=（cosβ,sinβ），
与
之间有关系|k
+
|=
|
－k
|，其中k>0，（Ⅰ）用k表示
;
（Ⅱ）求
·
的最小值，并求此时
与
的夹角的大小。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）·
；（Ⅱ）
·
的最小值为
，
与
的夹角的大小60°．
解析
（Ⅰ）用k表示
，可由已知
，
，可得
，结合|k
+
|=
|
－k
|，像这种与向量的模有关，可采用两边平方法，这样两边平后可得
，整理后可用k表示
，（Ⅱ）求
·
的最小值，由（Ⅰ）中函数的解析式，利用基本不等式，即可求出
的最小值，利用最小值代入向量夹角公式，从而可得此时
与
的夹角
的大小．
试题解析：（1）已知|ka+b|=
|a－kb|，两边平方，得|ka+b|2=(
|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2="1," b2=1,∴a·b =
=
（2）∵k2+1≥2k，即
≥
=
∴a·b的最小值为
，又∵a·b ="|" a|·|b |·cos
，|a|=|b|=1∴
=1×1×cos
。∴
=60°,此时a与b的夹角为60°。
考点
据考高分专家说，试题“已知=（cosα，sinα）,=（cos.....”主要考查你对 [向量数量积的含义及几何意义 ]考点的理解。
