已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．若OA=a，OB=b，O

题文

已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）若OA=a，OB=b，OC=c，OH=h，试用a、b、c表示h；
（2）证明：AH⊥BC；
（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示|h|． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由平行四边形法则可得：OH=OC+OD=OC+OA+OB
即h=a+b+c
（2）∵O是△ABC的外心，
∴|OA|=|OB|=|OC|，
即|a|=|b|=|c|，而AH=OH-OA=h-a=b+c，CB=OB-OC=b-c
∴AH•CB=(b+c)•(b-c)=|b|-|c|=0，∴AH⊥CB
（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°
∴∠BOC=120°，∠AOC=90°
于是∠AOB=150°|h|²=（a+b+c)2=a2+b2+c2+2a•b+2b•c+2c•a
=3R2+2|a|•|b|•cos150°+2|a|•|c|•cos90 °+2|b|•|c|•cos120°
=（2-3）R²
∴|h|=6-22R

解析

OH

考点

据考高分专家说，试题“已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。