设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，B．若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的最大值和最小值；若C为椭圆上异于B一

题文

设F₁、F₂分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1•PF2的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且BF1=λCF1，求λ的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF₁的周长的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=3，所以，F1(-3，0)，F2(3，0)，
设P（x，y），则 PF1•PF2=(-3-x，-y)•(3-x，-y)=x2+y2-3 
=x2+1-x24-3=14(3x2-8)．
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1•PF2有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1•PF2有最大值1．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），B（0，-1），F1(-3，0)，由BF1=λCF1，得 x0=3(1-λ)λ，y0=-1λ，
又 x024+y02=1，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．  
（Ⅲ） 因为|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周长≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以当P点位于直线BF₂与椭圆的交点处时，△PBF₁周长最大，最大值为8．

解析

3

考点

据考高分专家说，试题“设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。