过抛物线y2=4x上一点A作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段

题文

过抛物线y²=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ₁EC；点F在线段BC上，满足BF=λ₂FC，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设DP=λPC，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）过点A的切线方程为y=x+1． …（1分）
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点．
所以CD=12(CA+CB)．                            （1）…（3分）
由DP=λPC⇒DP+PC=（1+λ）PC⇒CD=(1+λ)CP． （2）
同理由 AE=λ₁EC，得CA=（1+λ₁）CE，（3）
BF=λ₂FC，得CB=（1+λ₂）CF．     （4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得CP=12(1+λ)[(1+λ1)CE+(1+λ2)CF]．
因为E、P、F三点共线，所以 1+λ12(1+λ)+1+λ22(1+λ)=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=12．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心．
所以，x=1-1+x03，y=2+0+y03．
解得x₀=3x，y₀=3y-2，代入y₀²=4x₀得，（3y-2）²=12x．
由于x₀≠1，故x≠13．所求轨迹方程为（3y-2）²=12x （x≠13）． …（10分）

解析

CD

考点

据考高分专家说，试题“过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。