已知a=，b=，⊥点P的轨迹C的方程；若直线l：y=3x+m与曲线C交于A，B两点，

题文

已知a=（x，0），b=（1，y），（a+3b）⊥（a-3b）（1）点P（x，y）的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=3x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，D（0，-1）且|AD|=|BD|，试求m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知a2=3b2（2分）
即x²=3+3y²，所以P的轨迹方程为x23-y2=1（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点E坐标为（x₀，y₀）．
y=3x+mx23-y2=1，消去y得：26x²+18mx+3m²+3=0
由韦达定理得：x1+x2=-9m13，则x0=-9m13，y0=-m26，（8分）
则AB垂直平分线方程为y+m26=-13(x+9m26)，
又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得m=132（11分）
（注：也可由DE的斜率为-13，得-m26+1-9m26=-13，解得m=132）
由△＞0，得m²＞26
所以m=132时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，
所以m=132．（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=（x，0），b=（1，y），（a.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。