如图，三定点A，B，C；三动点D，E，M满足AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE，t∈[0，1]．求动直线DE斜率的

题文

如图，三定点A（2，1），B（0，-1），C（-2，1）；三动点D，E，M满足AD=tAB，BE=tBC，DM=tDE，t∈[0，1]．
（Ⅰ）求动直线DE斜率的变化范围；
（Ⅱ）求动点M的轨迹方程．

题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：如图，（Ⅰ）设D（x₀，y₀），E（x_E，y_E），M（x，y）．
由AD=tAB，BE=tBC，知（x_D-2，y_D-1）=t（-2，-2）．
∴xD=-2t+2yD=-2t+1同理xE=-2tyE=2t-1．
∴k_DE=yE-yDxE-xD=2t-1-(-2t+1)-2t-(-2t+2)=1-2t．
∵t∈[0，1]，∴k_DE∈[-1，1]．
（Ⅱ）∵DM=tDE
∴（x+2t-2，y+2t-1）=t（-2t+2t-2，2t-1+2t-1）=t（-2，4t-2）=（-2t，4t²-2t）．
∴x=2(1-2t)y=(1-2t)2，
∴y=x24，即x²=4y．
∵t∈[0，1]，x=2（1-2t）∈[-2，2]．
即所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]
解法二：（Ⅰ）同上．
（Ⅱ）如图，OD=OA+AD=OA+tAB=OA+t（OB-OA）=（1-t）OA+tOB，
OE=OB+BE=OB+tBC=OB+t（OC-OB）=（1-t）OB+tOC，
OM=OD+DM=OD+tDE=OD+t（OE-OD）=（1-t）OD+tOE
=（1-t²）OA+2（1-t）tOB+t²OC．
设M点的坐标为（x，y），由OA=（2，1），OB=（0，-1），OC=（-2，1）得
x=(1-t2)•2+2(1-t)t•0+t2•(-2)=2(1-2t)y=(1-t)2•1+2(1-t)t•(-1)+t2•1=(1-2t)2
消去t得x²=4y，
∵t∈[0，1]，x∈[-2，2]．
故所求轨迹方程为：x²=4y，x∈[-2，2]

解析

AD

考点

据考高分专家说，试题“如图，三定点A（2，1），B（0，-1）.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。