已知向量u=与向量v=的对应关系用v=f表示．证明对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f=mf+nf（

题文

已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系用v=f（u）表示．
（1）证明对任意的向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；
（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）与f（b）的坐标；
（3）求使f（c）=（p，q）（p、q为常数）的向量c的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），
∴ma+nb=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
f（ma+nb）=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
又mf（a）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（b）=n（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（a）+nf（b）=（my₁+ny₂，（2y₁-x₁）m+（2y₂-x₂）n）
=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
∴f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立．
（2）a=（1，1），∴f（a）=（1，2×1-1）=（1，1）；
b=（1，0），∴f（b）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）设c=（x，y），∴f（c）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴y=p2y-x=q.
∴c=（2p-q，p）．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。