如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且2EH=EG，HP•GE=0．建立适当的平面直角坐标系

题文

如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6，|FG|=10，且2EH=EG，HP•GE=0（G为动点，P是HP和GF的交点）．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C，证明|OC|＜95（O为EF的中点）．

题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）以EF所在的直线为x轴，EF的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．
由题设2EH=EG，HP•EG=0，
∴|PG|=|PE|，而|PF|+|PE|=|PG|=2a．
∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆．
故点P的轨迹方程是x225+y216=1．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，0）．
∴x₁≠x₂，且|CA|=|CB|，即（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²．
又A、B在轨迹上，∴x1225+y1216=1，x2225+y2216=1．
即y12=16-1625x12，y22=16-1625x22．
代入整理，得2(x2-x1)•x0=925(x22-x12)．
∵x₁≠x₂，∴x0=9(x1+x2)50．
∵-5≤x₁≤5，-5≤x₂≤5，∴-10≤x₁+x₂≤10．
∵x₁≠x₂，∴-10＜x₁+x₂＜10．
∴-95＜x0＜95，即|OC|＜95．…（13分）

解析

EH

考点

据考高分专家说，试题“如图，已知E、F为平面上的两个定点|EF.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。