在平面直角坐标系xoy中，过定点C作直线m与抛物线y2=2px相交于A、B两点．设N，求NA•NB的最小值；是否存

题文

在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A、B两点．
（I）设N（-p，0），求NA•NB的最小值；
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）依题意，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：x=my+p
由x=my+py2=2px⇒y²-2pmy-2p²=0（2分）∴y1+y2=2pmy1•y2=-2p2∴NA•NB=(x1+p，y1)•(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2 =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2=2p2m2+2p2
当m=0时NA•NB的最小值为2p²．（7分）
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(x1+p2，y12)．∵|o′P|=12|AC|=12(x1-p)2+y12=12x12+p2（9分）∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2=14(x12+p2)-14(2a-x1-p)2=(a-12p)x1+a(p-a)
∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-12p)x1+a(p-a)]（13分）
令a-12p=0得a=12p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，
其方程为x=12p（15分）

解析

x=my+py2=2px

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。