在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A，B，若点P满足OP=α•OA+β•OB，其中α，β∈R且2α2+β2=23．1）求点P的轨迹

题文

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（-1，1），若点P满足OP=α•OA+β•OB，其中α，β∈R且2α²+β²=23． 
1）求点P的轨迹C的方程.2）设D（0，2），过D的直线L与曲线C交于不同的两点M、N，且M点在D，N之间，设DM=λDN，求λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

1）设P（x，y），由条件OP=α•OA+β•OB，得α=x+y3β=2y-x3，代入2α²+β²=23．
可得x22+y2 =1，此即为点P的轨迹C的方程
2）当直线l斜率存在时，设l：y=kx+2，代入椭圆方程得：
（1+2k²）x²+8kx+6=0
因为直线L与曲线C交于不同的两点M、N，
所以△＞0，解得k2＞32
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由维达定理可得x₁+x₂=-8k1+2 k2，x₁x₂=61+2k2
由DM=λDN可得x₁=λx₂代入上式可得
λ+ 1λ+2 =( x1+x2)  2x1x2=163-163(1+2k2)
因为k2＞32，所以2＜λ+1λ＜103，解得13＜λ＜3且λ≠1
当直线l斜率不存在时，λ=13
又因为M点在D，N之间，所以0＜λ＜1
所以λ的取值范围是[13，1)

解析

OP

考点

据考高分专家说，试题“在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。