已知两点A，B，动点P在y轴上的射影是H，且PA•PB=2PH2．求动点P的轨迹C的方程已知过点B的直线l交曲线C于x

题文

已知两点A（-2，0），B（2，0），动点P在y轴上的射影是H，且PA•PB=2PH2．
（1）求动点P的轨迹C的方程（6分）
（2）已知过点B的直线l交曲线C于x轴下方不同的两点M，N，求直线l的斜率的取值范围（6分） 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）设P(x，y)，则PA=(-2-x，-y)，PB=(2-x，-y)，PH=（-x，0），
因为PA•PB=2PH2
所以得y²-x²=4
（2）①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，它与曲线C在x轴下方的部分只有一个交点(2，-22)
②若直线l的斜率为0，则直线l是x轴，它与曲线C无交点，所以，以上两种情形与题设不符．
③设直线l之方程为y=k （x-2）（k≠0）
联立y=k(x-2)y2-x2=4消去x得（k²-1）y²-4ky=8k²=0
设M （x₁，y₁），N （x₂，y₂）
则M，N在x轴下方⇔k2-1≠016k2-4(k2-1)(-8k2)＞04kk2-1＜0-8k2k2-1＞0
解出22＜k＜1，
∴k∈(22，1)

解析

PA

考点

据考高分专家说，试题“已知两点A（-2，0），B（2，0），动.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。