设a=，b=，c=，α、β∈，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π3

题文

设a=（1-cosα，sinα），b=（1+cosβ，sinβ），c=（1，0），α、β∈（0，π），a与c的夹角为θ₁，b与c的夹角为θ₂，且θ₁-θ₂=π3．
（1）求cos（α+β）的值；（2）设OA=a，OB=b，OD=d，且a+b+d=3c求证：△ABD是正三角形． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵α、β∈（0，π），
∴α2、β2∈（0，π2），
故cosθ₁=a•c|a||c|=1-cosα2-2cosα=1-cosα2=sinα2=cos(π2-α2)，
cosθ₂=b•c|b||c|=1+cosβ2+2cosβ=1+cosβ2=cosβ2，
∴θ1=π2-α2，θ2=β2．
又θ₁-θ₂=π3，即π2-α2-β2=π3，可得α+β=π3，故cos（α+β）=12．
（2）∵AB=OB-OA=b-a=（cosβ+cosα，sinβ-sinα），
∴|AB|=(cosβ+cosα)2+(sinβ-sinα)2=2+2cos(β+α)=3，
由a+ b+d=3c，可得d=3c-a-b=（1+cosα-cosβ，-sinα-sinβ），
∵AD=OD-OA=d-a=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），
∴|AD|=(2cosα-cosβ)2+(2sinα+sinβ)2=5-4cos(β-α)=3，
同理可得|BD|=3，故|AB|=|AD|=|BD|，故△ABD是正三角形．

解析

α2

考点

据考高分专家说，试题“设a=（1-cosα，sinα），b=（.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。