已知向量OA=，O是坐标原点，动点M满足：|OM+OA|+|OM-OA|=6．求点M的轨迹C的方程；是否存在直线l过D与轨迹C

题文

已知向量OA=（22，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|OM+OA|+|OM-OA|=6．
（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；
（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设 B（-22，0）…（1分）
则|OM+OA|+|OM-OA|=|OM+OB|+|OM-OA|=|MB|+|MA|=6
∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
由c=22，2a=6⇒a=3⇒b=1              …（5分）
∴M 的轨迹 C的方程为 x29+y²=1           …（6分）
（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）
由 y=kx+2x29+y2=1得x²+9 （kx+2）²=9，
即 （1+9k²） x²+36kx+27=0         …（8分）
∴△=（36k）²-4×27 （1+9k²）＞0
即 9k²-3＞0，∴k＜-33或k＞33  （*）…（9分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=-36k1+9k2，x₁x₂=271+9k2                …（10分）
∵以 PQ 为直径的圆过原点，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0
∴（1+k²） x₁ x₂+2k （x₁+x₂）+4=0
即  27(1+k2)1+9k2-72k21+9k2+4=0
解得k=±313满足 （*）
∴满足条件的直线 l 存在，
且直线 l 的方程为：31x-3y+6=0或 31x+3y-6=0  …（12分）

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=（22，0），O是坐标原点.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。