已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足OM•AM=k(CM•BM-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．（1

题文

已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足OM•AM=k(CM•BM-d2)，其中O是坐标原点，k是参数．
（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；
（2）当k=12时，求|OM+2AM|的最大值和最小值；
（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足33≤e≤22，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设M（x，y），由题设可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴OM=(x，y)，AM=(x-2，y)，CM=(x，y-1)，BM=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因OM•AM=k(CM•BM-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0为所求轨迹方程．
当k=1时，y=0，动点M的轨迹是一条直线；
当k=0时，x²-2x+y²=0，动点M的轨迹是圆；
当k≠1时，方程可化为(x-1)2+y21-k=1，当k＞1时，动点M的轨迹是双曲线；
当0＜k＜1或k＜0时，动点M的轨迹是椭圆．
（2）当k=12时，M的轨迹方程为(x-1)2+y212=1，．得：0≤x≤2，y²=12-12(x-1)2．
∵|OM+2AM|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[12-12(x-1)2]
=92(x-53)2+72．
∴当x=53时，|OM+2AM|2取最小值72
当x=0时，|OM+2AM|2取最大值16．
因此，|OM+2AM|的最小值是142，最大值是4．
（3）由于33≤e≤22，即e＜1，此时圆锥曲线是椭圆，其方程可化为(x-1)2+y21-k=1，
①当0＜k＜1时，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=c2a2=k，∵33≤e≤22，∴13≤k≤12；
②当k＜0时，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=c2a2=-k1-k=kk-1，∵33≤e≤22，∴13≤kk-1≤12，而k＜0得，-1≤k≤-12．
综上，k的取值范围是[-1，-12]∪[13，12]．

解析

OM

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。