已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，其中x∈(0，π2)．求|BC|和△ABC的边BC上的高h；

题文

已知△ABC，AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，其中x∈(0，π2)．
（Ⅰ）求|BC|和△ABC的边BC上的高h；
（Ⅱ）若函数f(x)=|BC|2+λ•h的最大值是5，求常数λ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵AB=(cos3x2，-sin3x2)，AC=(cosx2，sinx2)，∴|AB|=|AC|=1
∴|BC|=(AC-AB)2=AC2-2AC•AB+AB2=2-2(cos3x2cosx2+(-sin3x2)sinx2)
=2-2(cos3x2cosx2-sin3x2sinx2)=2-2cos2x=2-2(1-2sin2x)=4sin2x=2|sinx|
∵x∈(0，π2)，∴sinx∈（0，1），∴|BC|=2sinx．
∵|AB|=|AC|=1，△ABC是等腰三角形，
∴h=|AB|2-(12|BC|)2=cosx
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=|BC|2+λh=4sin2x+λcosx=4（1-cos²x）+λcosx=-4cos²x+λcosx+4
令t=cosx，∵x∈(0，π2)，∴t∈（0，1）
则 f(x)=g(t)=-4t2+λt+4=-4(t-λ8)2+λ216+4
结合函数g（t）的图象可知
当λ8≤0或λ8≥1，即λ≤0或λ≥8时，函数g（t）无最值．
当0＜λ8＜1，即0＜λ＜8时，f（x）_max=g(t)max=g(λ8)=-4×(λ8)2+λ×λ8+4=5
解得λ=4或λ=-4（舍）
故λ=4时，函数f（x）的最大值为5．

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“已知△ABC，AB=(cos3x2，-s.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。