设向量OA=(3，-3)，OB=(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤π2．若|AB|=13，求tanθ的值；求△AOB面积的最大值．

题文

设向量OA=(3，-3)，OB=(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤π2．
（1）若|AB|=13，求tanθ的值；
（2）求△AOB面积的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）：依题意得，AB=OB-OA=(cosθ-3，sinθ+3)，…（2分）
所以|AB|2=(cosθ-3)2+(sinθ+3)2=13-6cosθ+23sinθ=13，…（4分）
所以3sinθ=3cosθ．因为cosθ≠0，所以tanθ=3．…（7分）
（2）：由0≤θ≤π2，得∠AOB=θ+π6．…（9分）
所以S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB=12×23×1×sin(θ+π6)=3sin(θ+π6)…（12分）
所以当θ=π3时，△AOB的面积取得最大值3．…（14分）

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“设向量OA=(3，-3)，OB=(cos.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。