在直角坐标平面中，已知点P1，P2，P3，…，Pn，其中n是正整数．对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对

题文

在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数．对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．
（1）求向量A0A2的坐标；
（2）当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量A0An的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设点A₀（x，y），A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₁的坐标为（2-x，4-y），
A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为（2+x，4+y），
∴A0A2={2，4}．
（2）∵A0A2={2，4}，
∴f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到．
因此，设曲线C是函数y=g（x）的图象，
其中g（x）是以3为周期的周期函数，
且当x∈（-2，1]时，g（x）=lg（x+2）-4．
于是，当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．
（3）A0An=A0A2+A2A4+…+An-2An，
由于A2k-2A2k=2P2k-1P2k，得A0An=2（P1P2+P3P4+…+Pn-1Pn）
=2（{1，2}+{1，2³}+…+{1，2^n-1}）=2{n2，2(2n-1)3}={n，4(2n-1)3}

解析

A0A2

考点

据考高分专家说，试题“在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。