已知椭圆E：x2a2+y2b2=1过点P，其左、右焦点分别为F1，F2，且F1P•F2P=-6．求椭圆E的方程；若M，N是直

题文

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且F1P•F2P=-6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，圆C是以MN为直径的圆，其面积为S，求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则F1P=(3+c，1)，F2P=(3-c，1)，
故F1P•F2P=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，可得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=(3+4)2+12+(3-4)2+12=62，
故a=32，b2=a2-c2=18-16=2，
所以椭圆E的方程为x218+y22=1．
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），
则F1M=(9，m)，F2N=(1，n)，又F1M⊥F2N，
可得F1M•F2N=9+mn=0，即mn=-9，
又|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2|m|•|n|=29=6，（当且仅当|m|=|n|时取等号）
故Smin=π(62)2=9π，且当S取最小值时，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此时圆C的方程为（x-5）²+y²=9．

解析

F1P

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。