四边形ABCD是梯形，AB•AD=0，AB与CD共线，A，B是两个定点，其坐标分别为，，C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．

题文

四边形ABCD是梯形，AB•AD=0，AB与CD共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由AB•AD=0，AB与CD共线可知，
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y²=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y²=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意y=k(x-1)y2=4x，
∴k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设P（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则x1+x2=2k2+4k2，x₁x₂=1，
|PC|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4(1+k2)k2
直线MN垂直于直线BC，
以-1k替代上式中的k，得|MN|=4（k²+1）…（7分）
∴S四边形CMPN=12|PC|•|BN|+12|PC|•|BM|
=12|PC|(|BN|+|BM|)
=12|PC|•|MN|
=12•4(1+k2)k2•4(1+k2)
=8•k4+2k2+1k2=8(k2+1k2+2)
∵k2+1k2≥2∴8(k2+1k2+2)≥32
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“四边形ABCD是梯形，AB•AD=0，A.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。