已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．求椭圆的方程；过点Q的

题文

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；    （Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，且AQ=λQB，AE=μEB．求证：λ+μ为定值，并计算出该定值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由条件得2b2a=12b=a⇒a=2b=1，所以方程为x24+y2=1
（Ⅱ）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
由y=k(x+1)x24+y2=1⇒(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
△=48k²+16＞0
x1+x2=-8k21+4k2，x1x2=4k2-41+4k2
由AQ=λQB⇒(-1-x1，-y1)=λ(x2+1，y2)即-(x1+1)=λ(x2+1)(1)y1=-λy2
AE=μEB⇒(-4-x1，y0-y1)=μ(x2+4，y2-y0)即-(x1+4)=μ(x2+4)(2)y0-y1=μ(y2-y0)
由（1）λ=x1+1x2+1，由（2）μ=x1+4x2+4
∴λ+μ=-(x1+1)(x2+4)+(x1+4)(x2+1)(x2+1)(x2+4)=-2x1x2+5(x1+x2)+8(x2+1)(x2+4)
将x1+x2=-8k21+4k2，x1x2=4k2-41+4k2代入有∴λ+μ=-8k2-81+4k2-40k21+4k2+8(x2+1)(x2+4)=-8k2-8-40k2+8+32k21+4k2(x2+1)(x2+4)=0

解析

2b2a=12b=a

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。