已知二次函数f=x2+mx+n对任意x∈R，都有f=f成立，设向量a=，b=，c=

题文

已知二次函数f （x）=x²+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量a=（ sinx，2 ），b=（2sinx，12），c=（ cos2x，1 ），d=（1，2），
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （a•b）＞f （c•d）的解集． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y₁）、B（2+x，y₂），
因为(-x)+(2+x)2=1
f （-x）=f （2+x），所以y₁=y₂
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵a•b=（sinx，2）•（2sinx，12）=2sin²x+1≥1，
c•d=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （a•b）＞f （c•d）⇔f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
⇔2sin²x+1＞cos2x+2⇔1-cos2x+1＞cos2x+2
⇔cos2x＜0⇔2kπ+π2＜2x＜2kπ+3π2，k∈z
⇔kπ+π4＜x＜kπ+3π4，k∈z
∵0≤x≤π，∴π4＜x＜3π4
综上所述，不等式f （a•b）＞f （c•d）的解集是：{ x|π4＜x＜3π4}．

解析

(-x)+(2+x)2

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=x2+mx+n对任.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。