椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，右焦点到直线x+y+6=0的距离为23，过M的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的方程；

题文

椭圆 x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，右焦点到直线x+y+6=0的距离为23，过M（0，-1）的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线l交x轴于N，NA=-75NB，求直线l的方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）
∵右焦点到直线x+y+6=0的距离为23，
∴|c+6|2=23
∴c=6
∵椭圆 x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，
∴ca=32
∴a=22
∴b=a2-c2=2
∴椭圆的方程为x28+y22=1；
（Ⅱ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，0）
∵NA=-75NB，
∴(x1-x0，y1)=-75(x₂-x₀，y₂）
∴y1=-75y2①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx-1（k≠0）．
与椭圆方程联立y=kx-1x28+y22=1，消去x可得（4k²+1）y²+2y+1-8k²=0②
∴y1+y2=-24k2+1③y1y2=1-8k24k2+1④
由①③可得y2=54k2+1，y1=-74k2+1代入④整理可得：8k⁴+k²-9=0
∴k²=1
此时②为5y²+2y-7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x-1

解析

6

考点

据考高分专家说，试题“椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。