已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)•(b-c)=0．若对每一确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意b，m-n的最小

题文

已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-b|=|b|，(a-c)•(b-c)=0．若对每一确定的b，|c|的最大值和最小值分别为m，n，则对任意b，m-n的最小值是（ ）A．14B．12C．34D．1 题型：未知 难度：其他题型

答案

法一：把 α放入平面直角坐标系，使 α起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则 α=（1，0）
设 β=（x₁，y₁），∵|α-β|=|β|，∴x1=12，∴β=（ 12，y₁）
设 γ=（x，y），则 α-γ=（1-x，-y），β-γ=（ 12-x，y₁-y）
∵（ α-γ）•（ β-γ）=0．∴（1-x）（ 12-x）-y（y₁-y）=0
化简得，x²+y²-32x-y₁y+12=0，也即 (x-34)2+(y-y12)2=y12+142
点（x，y）可表示圆心在（ 34，y12），半径为 y12+142的圆上的点，
|γ|=x2+y2，∴|γ|最大m=(34)2+(y12)2+y12+142，最小值n=(34)2+(y12)2-y12+142．
∴m-n=(34)2+(y12)2+y12+142-（ (34)2+(y12)2-y12+142）=y12+14
当y₁²=0时，m-n有最小值为 12，
法二：∵|α|=1，
∴令 OA=α则A必在单位圆上，
又∵又向量 β满足 |α-β|=|β|，
∴令 OB=β则点B必在线段OA的中垂线上，
OC=γ．
又∵(α-γ)•(β-γ)=0
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记 OC=γ．
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值 12
即（m-n）_min=12
故选B．

解析

α

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a，b，c满足|a|=1，|a-.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。