已知向量a=(1，sinx)，b=(sin2x，cosx)，函数f(x)=a•b，x∈[0，π2]．求f的最小值和单调区间；若f(α)=34，

题文

已知向量a=(1，sinx)，b=(sin2x，cosx)，函数f(x)=a•b，x∈[0，π2]．
（1）求f（x）的最小值和单调区间；
（2）若f(α)=34，求sin2α的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f(x)=a•b=sin²x+sinxcosx=1-cos2x2+12sin2x=12（sin2x-cos2x）+12=22sin（2x-π4）+12
（1）∵x∈[0，π2]，∴2x-π4∈[-π4，3π4]
∴当2x-π4=-π4，即x=0时，f（x）最小为-22×22+12=0
由-π2+2kπ≤2x-π4≤π2+2kπ，得-π8+kπ≤x≤3π8+kπ，
由π2+2kπ≤2x-π4≤3π2+2kπ，得3π8+kπ≤x≤7π8+kπ，
取k=0，结合x∈[0，π2]
∴函数f（x）的单调增区间为[0，3π8]，单调减区间为[3π8，π2]
（2）∵f(α)=34，∴22sin（2x-π4）+12=34
∴sin（2x-π4）=24
∵x∈[0，π2]，∴2x-π4∈[-π4，3π4]
∵0＜sin（2x-π4）＜12
∴2x-π4∈（0，π6）
∴cos（2x-π4）=144
∴sin2x=sin（2x-π4+π4）=22sin（2x-π4）+22cos（2x-π4）=22（24+144）=7+14

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(1，sinx)，b=(si.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。