题文
已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））；若△ABC 的内切圆圆心为D，且.DA+.DC=λ.DB(λ∈R)，则下列结论正确的有______．（填上你认为正确的命题的序号）①△ABC必是等腰三角形；
②△ABC必是直角三角形；
③满足条件的实数λ有3个；
④满足条件的函数有l2个． 题型：未知 难度：其他题型
答案
在AC上取中点E，则可得DA+DC=2DE且DE平分AC由DA+DC=λDB(λ∈R)，
∴B，D，E三点共线
∵BD是∠ABC的平分线
∴BE垂直平分AC，DA=DC
∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正确②不正确
必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；
①当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，三种情况．
②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．
③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．
④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．
因而满足条件的函数f（x）有12种．故④正确
由以上情况的讨论可知，A，B，C的坐标情况如下
A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB=2，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB=5，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB=10，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB=2，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2），
AB=2，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB=10，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB=2，AC=2；
A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB=5，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB=2，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB=5，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB=2，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB=10，AC=2
∵BE垂直平分AC，DA=DC
∴DA+DC=2DE
由角平分线性质可得，|BD||DE|=|AB||AE|=2|AB||AC|，根据以上情况可求得λ有3个情况，故③正确
故答案为：①③④
解析
DA考点
据考高分专家说，试题“已知集合M={1，2，3}，N={1，2.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。
