设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-π6))，b=(2cos(θ+π6)，2sin(θ+π6))．若向量(2tb+7a)与向量(b+ta)的夹角为锐角

题文

设a=(cos(θ-π6) ，sin(θ-π6)) ，b=(2cos(θ+π6)，2sin(θ+π6))．
（1）若向量(2tb+7a)与向量(b+ta)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2tb+mta(m为常数，且m＞0）的模的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设易得|a|=1，|b|=2，a•b=2cos[(θ-π6)-(θ+π6)]=2cos(-13π)=1 
∴(2tb+7a)•(b+ta)=2t|b|2=2t|b |²+2ta•b+7a•b+7t|a|  2＞0
整理可得，2t²+15t+7＞0
∴t＞-12 或 t＜-7
又当2tb+7a与b+ta共线时，不满足题意．
令2tb+7a=λ(b+ta)
则2t=λ7=tλ∴t=±142
∴t＞-12 或 t＜-7，且t≠±142         （6分）
（2）∵(2bt+mta)2=4t2|b|2+4ma•b+m2t2|a|2
=16t2+m2t2+4m
令y=16t2+m2t2+4m t∈（0，1]
∵y=16t2+m2t2+4m≥8m+4m=12m
当且仅当t=m2
于是①当m2∈(0，1] 即 0＜m≤4时
当且仅当t=m2时，y_min=12m．从而|2tb+mta|=23m
②当m2＞1 即m＞4时
可证 y=16t2+m2t2+4m在（0，1]为减函数
从而当t=1时，y_min=m²+4m+16
∴|2tb+mta| min=m2+4m+16                （6分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设a=(cos(θ-π6)，sin(θ-.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。