已知向量a=(cosx，sinx)，b=(2，2)，若a•b=85，且π4＜x＜π2．求cos(x-π4)和tan(x-π4)的值；求sin2x(1

题文

已知向量a=(cosx，sinx)，b=(2，2)，若a•b=85，且π4＜x＜π2．
（1）求cos(x-π4)和tan(x-π4)的值；
（2）求sin2x(1+tanx)1-tanx的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为：a•b=2cosx+2sinx=2sin（x+π4）
∴2sin（x+π4）=85⇒sin（x+π4）=45⇒cos（π4-x）=45．
（1）∴cos（x-π4）=45．
∵π4＜x＜π2⇒0＜x-π4＜π4⇒sin（x-π4）=1-cos 2(x-π4)=35．
∴tan（x-π4）=sin(x-π4)cos(x-π4)=3545=34．
（2）∵sin2x(1+tanx)1-tanx
=sin2x•1+tanx1-tanx
=cos（π2-2x）•tan（x+π4）
=cos（2x-π2）•cot（π4-x）
=-cos2（x-π4）•1tan(x-π4)
=-[2cos²（x-π4）-1]×134
=-[2×(45)2-1]×43
=-2875．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(cosx，sinx)，b=.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。