在椭圆x22+y2=1上，对不同于顶点的任意三个点M，A，B，存在锐角θ，使OM=cosθOA+sinθOB．则直线OA与OB的斜率之积为______．

题文

在椭圆x22+y2=1上，对不同于顶点的任意三个点M，A，B，存在锐角θ，使OM=cosθOA+sinθOB．则直线OA与OB的斜率之积为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x122+y12=1①，x222+y22=1②．
又设M（x，y），∵OM=cosθOA+sinθOB，
∴x=x1cosθ+x2sinθy=y1cosθ+y2sinθ
∵M在椭圆上，∴(x1cosθ+x2sinθ)2 2+（y₁cosθ+y₂sinθ）²=1．
整理得（x122+y12）cos²θ+（x222+y22）sin²θ+2（x1x22+y₁y₂）cosθsinθ=1．
将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得x1x22+y₁y₂=0．
所以，k_OAk_OB=y1y2x1x2=-12
故答案为：-12

解析

x122

考点

据考高分专家说，试题“在椭圆x22+y2=1上，对不同于顶点的.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。