已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若PQ=2F1O，F1Q=λ(F1P|F1P|+F1

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若PQ=2F1O，F1Q=λ(F1P|F1P|+F1O|F1O|)(λ＞0)则椭圆的离心率为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，PQ=2F1O，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为a2c-2c，
又F1Q=λ(F1P|F1P|+F1O|F1O|)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
由于PQ∥.F₁F₂，故四边形PF₁F₂Q是一个平行四边形，结合对角线是角平分线知，四边形PF₁F₂Q是菱形，可得P_F1=2c
由此得PF₂=2a-2c
由椭圆的第二定义知e=PF2PQ=2a-2c2c，解得e=5-12
故答案为5-12
解法二：∵椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，PQ=2F1O，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为a2c-2c，
又F1Q=λ(F1P|F1P|+F1O|F1O|)(λ＞0)知Q点在∠PF₁O角平分线上，故有∠PF₁O=2∠QF₁O
令P（a2c-2c，y），Q（a2c，y），故kPF 1=ya2c-2c+c=ya2c-c，kQF 1=ya2c+c
又tan∠PF₁O=tan2∠QF₁O=2tan∠QF1O1-tan 2∠QF1O，即ya2c-c=2× ya2c+c1-( ya2c+c)2①
又由x2a2+y2b2=1及a²=b²+c²，P（a2c-2c，y），解得y2=6a2-9c2-a4c2+4c4a2代入①整理得
e=5-12
故答案为e=5-12

解析

x2a2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。