已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(0，1)，动点M到直线y=1的距离等于d，并且满足OM•AM=k(CM•BM-d2)（其中O是坐标原点，k∈R

题文

已知向量OA=(2， 0)，  OC=AB=(0，  1)，动点M（x，y）到直线y=1的距离等于d，并且满足OM • AM=k(CM • BM-d2)（其中O是坐标原点，k∈R）．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）当k=12时，求|OM+2AM|的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵O为原点，且OA=(2，  0)，  OC=AB=(0，  1)
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴OM=(x，y)，  AM=(x-2，y)，  BM=(x-2，y-1)，CM=(x，y-1)，d= |y-1|（2分）
又OM • AM=k(CM • BM-d2)
∴x（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]⇒x²-2x+y²=k（x²-2x）⇒（1-k）x²+2（k-1）x+y²=0（5分）
1）当k=1时，y=0，动点轨迹是一条直线；
2）当k≠1时，(x-1)2+y21-k=14）
①若1-k=1⇒k=0时，（x-1）²+y²=1动点轨迹是一个圆；
②若1-k＞01-k≠0⇒k＜1 且 k≠0时，动点轨迹是椭圆；
③若1-k＜0⇒k＞1时，动点轨迹是双曲线．（9分）
（2）当k=12时，M轨迹方程为（x-1）²+2y²=1
∴y2=12-12(x-1)2（10分）
∴t= |OM+2AM| = |(x，y)+2(x-2，y)| = |(3x-4，  3y)|=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9 [12-12(x-1)2]=92(x-53)2+72（12分）
又（x-1）²+2y²=1⇒（x-1）²≤1⇒0≤x≤2
∴当 x=53时，tmin=72=142
当 x=0时，t_max=4
∴|OM+2AM|的取值范围是[142，4]．（14分）

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OA=(2，0)，OC=AB=(.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。