已知a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈，记f在内零点为x0．求当f取得极大值时，a与

题文

已知a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈（0，2π），记f（x）在（0，2π）内零点为x₀．
（1）求当f（x）取得极大值时，a与b的夹角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求当函数f′(x)x2取得最小值时f（x）的值，并指出向量a与b的位置关系． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本题满分14分）
（1）∵a=(sinx，x)，b=(1，-cosx)，f(x)=a•b且x∈（0，2π），
∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，
∴x∈（0，π），f'（x）＞0，则f（x）单调递增；
当x∈（π，2π），f'（x）＜0，则f（x）单调递减．
∴x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．…（4分）
此时a=（sinπ，π）=（0，π），b=（1，-cosπ）=（1，1）
∴cosθ=a•b|a||b|=0+ππ•2=22，
∵0≤θ≤π，∴θ=π4．…（6分）
（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．
且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．
∴x∈（0，π）时，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，
得x₀∈（π，2π），
∴x∈（0，x₀）时，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集为（0，x₀）．…（9分）
（3）令h(x)=f ′(x)x2=xsinxx2=sinxx，
∵h′(x)=xcosx-sinxx2=-f(x)x2，
∴h′（x）=0，得x=x₀，
∴x∈（0，x₀），f（x）＞0，得h′（x）＜0，则h（x）单调递减，
当x∈（x₀，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，则h（x）单调递增，
∴x=x₀是h（x）在（0，2π）内的极小值，且h（x₀）为唯一极值，即为最小值，
此时f（x）=f（x₀）=0，即a•b=0，
∴a⊥b．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=(sinx，x)，b=(1，-c.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。