已知直线l的方向向量为a=，且过直线l1：2x+y+1=0和直线l2：x-2y+3=0的交点．求直线l的方程；若点P是曲线y

题文

已知直线l的方向向量为a=（1，1），且过直线l₁：2x+y+1=0和直线l₂：x-2y+3=0的交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（x₀，y₀）是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2x+y+1=0x-2y+3=0可得x=-1y=1
由题意可得，直线l的斜率k=1，且过（-1，1）
∴直线l的方程为y-1=x+1即x-y+2=0
（2）当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．
由题意可得，y′=2x-1x=1，
∴x=1，或 x=-12（舍去）
故曲线y=x²-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离d=|1-1+2|2=2
故点P到直线y=x-2的最小距离为2

解析

2x+y+1=0x-2y+3=0

考点

据考高分专家说，试题“已知直线l的方向向量为a=（1，1），且.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。