已知OF=，OG=，|FG|的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①|PF|=ca|PE|；②PE=

题文

已知OF=（c，0）（c＞0），OG=（n，n）（n∈R），|FG|的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：
①|PF|=ca|PE|（a＞c＞0）；
②PE=λOF （其中OE=（a2c，t），λ≠0，t∈R）；
③动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求曲线C的方程；
（Ⅲ）是否存在方向向量为a=（1，k）（k≠0）的直线l，使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）：|FG|=(n-c)2+n2=2(n-c2)2+c22 ，
当n=c2时，|FG|_min=c22=1，所以c=2．（3分）
（Ⅱ）∵PE=λOF （λ≠0），∴PE⊥直线x=a2c，又|PF|=ca|PE|（a＞c＞0）．
∴点P在以F为焦点，x=a2c为准线的椭圆上．（5分）
设P（x，y），则有(x-2)2+y2=2a|a22-x|，点B（0-1）代入，解得a=3．
∴曲线C的方程为 x23+y²=1                                       （7分）
（Ⅲ）假设存在方向向量为a₀=（1，k）（k≠0）的直线l满足条件，则可设l：y=kx+m（k≠0），
与椭圆x23+y²=1联立，消去y得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．（10分）
由判别式△＞0，可得m²＜3k²+1．①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点P（x₀，y₀），由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN．
由韦达定理代入k_BP=-1k，可得到m=1+3k22               ②
联立①②，可得到  k²-1＜0，（12分）
∵k≠0，∴-1＜k＜0或0＜k1．
即存在k∈（-1，0）∪（0，1），使l与曲线C交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|．（14分）z

解析

FG

考点

据考高分专家说，试题“已知OF=（c，0）（c＞0），OG=（.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。