已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1．求证：△P1P2P3是正三角形．

题文

已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1．
求证：△P₁P₂P₃是正三角形． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：
法一：∵OP1+OP2+OP3=0，∴OP1+OP2=-OP3．∴|OP1+OP2|=|-OP3|．
∴|OP1|²+|OP2|²+2OP1•OP2=|OP3|²．
又∵|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，
∴OP1•OP2=-12．
∴|OP1||OP2|cos∠P₁OP₂=-12，
即∠P₁OP₂=120°．
同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．
∴△P₁P₂P₃为等边三角形．
法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
则OP1=（x₁，y₁），OP2=（x₂，y₂），OP3=（x₃，y₃）．
由OP1+OP2+OP3=0，
得x1+x2+x3=0y1+y2+y3=0.∴x1+x2=-x3y1+y2=-y3.，
由|OP1|=|OP2|=|OP3|=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1
∴2+2（x₁x₂+y₁y₂）=1
∴|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=x12+x22+y12+y22-2x1x2-2y1y2
=2(1-x1x2-y1y2)=3
同理|P1P3|=3，|P2P3|=3
∴△P₁P₂P₃为正三角形

解析

OP1

考点

据考高分专家说，试题“已知向量OP1、OP2、OP3满足OP1.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。