在△ABC中，若CA=a，CB=b，求证：S△ABC=12(|a||b|)2-(a•b)2；若CA=，CB=，求证：△A

题文

在△ABC中，（1）若CA=a，CB=b，求证：S_△ABC=12(|a||b|)2-(a•b)2；
（2）若CA=（a₁，a₂），CB=（b₁，b₂），求证：△ABC的面积S_△=12|a₁b₂-a₂b₁|． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）设a、b的夹角为θ，△ABC的面积S_△=12|CA||CB|sinθ=12|a||b|sinθ．
∵sin²θ=1-cos²θ=1-（a•b|a||b|）²，
∴S_△²=14（|a||b|）²sin²θ
=14（|a||b|）²[1-（a•b|a||b|）²]
=14[（|a||b|）²-（a•b）²]．
∴S_△=12(|a||b|)2-(a•b)2．
（2）记CA=a，OB=b，则a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂）．
∴|a|²=a₁²+a₂²，|b|²=b₁²+b₂²，
|a•b|²=（a₁b₁+a₂b₂）²．
由（1）可知S_△=12(|a||b|)2-(a•b)2
=12(a12+a22)(b12+b22)-(a1b1+a2b2)2
=12(a1b2-a2b1)2，
∴S_△=12|a₁b₂-a₂b₁|．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“在△ABC中，（1）若CA=a，CB=b.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。