已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)．求证：向量a⊥b；若存在不同时为零的实数k、θ和λ，使x=a+(sinθ-3λ)b，y=-k4a+si

题文

已知向量a=(3，-1)，b=(12，32)．
（Ⅰ）求证：向量a⊥b；
（Ⅱ）若存在不同时为零的实数k、θ和λ，使x=a+(sinθ-3λ)b，y=-k4a+sinθb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（θ）；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，求函数k=f（θ）的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）∵a•b=3×12-1×32=0
∴a⊥b
（II）由题意可得，x•y=0
[a+(sinθ-3λ)b]•(-k4a +sinθb)=0
结合（I）a•b=0，整理可得，-k4a2+sinθ(sinθ-3λ)b2=0
∴k=sin²θ-3λsinθ
（III）由（II）可得k=sin²θ-3λsinθ=(sinθ-3λ2)2-9λ24
∵-1≤sinθ≤1
①当3λ2≥1即λ≥23时，k_min=f（1）=1-3λ
②当3λ2≤-1，即λ≤-23时，k_min=f（-1）=1+3λ
③当-1＜3λ2＜1即-23＜λ＜23时，kmin=f(3λ2)=-92λ2×12=-9λ24

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(3，-1)，b=(12，3.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。