已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x-y-22=0相切．求圆的标准方程；设点A为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满

题文

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-22=0相切．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足OQ=mOA+nON，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当m=32时，得到曲线C，问是否存在与l₁垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则d=|-22|12+12=2…（2分）
所以圆C₁的方程为x²+y²=4…（3分）
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）
由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以x=(m+n)x0=x0y=my0…（5分）
即：x0=xy0=1my，将A(x，1my)代入x²+y²=4，得x24+y24m2=1…（7分）
（Ⅲ）m=32时，曲线C方程为x24+y23=1，假设存在直线l与直线l₁：x-y-22=0垂直，
设直线l的方程为y=-x+b…（8分）
设直线l与椭圆x24+y23=1交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立得：y=-x+b3x2+4y2=12，得7x²-8bx+4b²-12=0…（9分）
因为△=48（7-b²）＞0，解得b²＜7，且x1+x2=8b7，x1x2=4b2-127…（10分）
∴OD•OB=x1x2+y1y2=x1x2+(b-x1)(b-x2)=2x1x2-b(x1+x2)+b2
=8b2-247-8b27+b2=7b2-247…（12分）
因为∠BOD为钝角，所以7b2-247＜0且b≠0，
解得b2＜247且b≠0，满足b²＜7
∴-2427＜b＜2427且b≠0，
所以存在直线l满足题意…（14分）

解析

|-22|12+12

考点

据考高分专家说，试题“已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。