已知圆O：x2+y2=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=π4，平面上点G满足GA+GB+GC=0，求点G的轨迹方程．

题文

（附加题）已知圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，在圆上另取两点B，C，使∠BAC=π4，平面上点G满足GA+GB+GC=0，求点G的轨迹方程． 题型：未知 难度：其他题型

答案

法1：由GA+GB+GC=0，知点G即△ABC的重心，
圆O：x²+y²=4与x轴正半轴交于点A，
易知A（2，0）因为B、C在圆x²+y²=4上，故设点B（2cosθ，2sinθ）．
由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，
则点C的坐标为(2cos(θ+π2)，2sin(θ+π2))，
由重心坐标公式得轨迹的参数方程：x=13(2+2cosθ+2cos(θ+π2))y=13(2sinθ+2sin(θ+π2))（θ为参数）
即x=13(2+2cosθ-2sinθ)y=13(2sinθ+2cosθ)
化为普通方程是：(x-23)2+y2=89，轨迹为以点(23，0)为圆心，223为半径的圆．
法2：由∠BAC=π4，则∠B0C=π2，设BC的中点为P，易求得OP=2．
故点P的轨迹方程为x²+y²=2，
连接AP，因为点G为△ABC的重心，所以点G为AP的一个三等分点．
由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为：(x-23)2+y2=89

解析

GA

考点

据考高分专家说，试题“（附加题）已知圆O：x2+y2=4与x轴.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。