已知向量a=(sinα，-12)，b=(1，2cosα），a•b=15，α∈(0，π2)求sin2α及sinα的值；设函数f(x)=5sin(-2x

题文

已知向量a=(sinα，-12)，b=(1，2cosα），a•b=15，α∈(0，π2)
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数f(x)=5sin(-2x+π2+α)+2cos2x(x∈[π24，π2])，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a•b=sinα-cosα=15
∴（sinα-cosα）²=1-2inαcosα=1-sin2α=125
∴sin2α=2425（2分）
∵（sinα+cosα）²=1+sin2α=4925
∴sinα+cosα=75
∴sinα=35，cosα=45（5分）
（2）∵f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x
=5（cos2xcosα+sin2xsinα）+cos2x+1
=5（35cos2x+45sin2x）+cos2x+1
=4cos2x+4sin2x+1
=42sin（2x+π4）+1（8分）
∵π24≤x≤π2
∴π3≤2x+π4≤5π4
当x=π24时，f(x)max=f(π24)=1+26（10分）
要使得函数y=f（x）单调递增
∴-12π+2kπ≤2x+π4≤ 2kπ+12π
∴-3π8+kπ≤x≤π8+kπ（k∈Z）
∵x∈[π24，π2]
∴y=f（x）的单调递增区间为[π24，π8]（12分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(sinα，-12)，b=(.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。