已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x2-2|．若k=1，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b的值；若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，

题文

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b的值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求(AB+CD)•(AD+BC)的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）分两种情况：
①直线y=x+b与抛物线y=-x²+2在（-2，2）内相切，即方程x²+x+b-2=0在（-2，2）内有△=0，
由△=1-4b+8=0，得b=94，符合．
②直线y=x+b过点（-2，0），即0=-2+b，得b=2．
综上知，b=94或b=2
（2）根据直线y=kx+1与曲线M有四个交点可得-22＜k＜22
由y=x2-2y=kx+1(|x|≥2)，得x²-kx-3=0，
则有：|AD|=(k2+1)(k2+12)，其中-22＜k＜22．
由y=-x2+2y=kx+1(|x|＜2)，得x²+kx-1=0，
则有：|BC|=(k2+1)(k2+4)，其中-22＜k＜22．
所以(AB+CD)•(AD+BC)=(AD-BC)•(AD+BC)=|AD|2-|BC|2
=（k²+1）（k²+12）-（k²+1）（k²+4）=8（k²+1），
∵-22＜k＜22，∴8（k²+1）∈[8，12），
∴(AB+CD)•(AD+BC)∈[8，12)

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。