已知直线l过点P，斜率为k，圆Q：x2+y2-12x+32=0．若直线l和圆相切，求直线l的方程；若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是

题文

已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆Q：x²+y²-12x+32=0．
（1）若直线l和圆相切，求直线l的方程；
（2）若直线l和圆交于A、B两个不同的点，问是否存在常数k，使得OA+OB与PQ共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）将圆的方程化简，得：（x-6）²+y²=4，圆心Q（6，0），半径r=2．
设直线l的方程为：y=kx+2，故圆心到直线l的距离d=|6k-0+2|1+k2=|6k+2|1+k2．
因为直线l和圆相切，故d=r，即|6k+2|1+k2=2，解得k=0或k=-34．
所以，直线l的方程为y=2或3x+4y-8=0．
（2）将直线l的方程和圆的方程联立，消y得：（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
因为直线l和圆相交，故△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-34＜k＜0．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有：x₁+x₂=-4(k-3)1+k2；x₁x₂=361+k2
而y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，OA+OB=（x₁+x₂，y₁+y₂），PQ=（6，-2）．
因为OA+OB与PQ共线，所以-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂）．
即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，代入得（1+3k）[-4(k-3)1+k2]+12=0，解得k=-34．
又因为-34＜k＜0，所以没有符合条件的常数k．

解析

|6k-0+2|1+k2

考点

据考高分专家说，试题“已知直线l过点P（0，2），斜率为k，圆.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。