已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．当FM•OM=4时，求点M的坐标；求|OM||FM|的最大值．

题文

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 FM•OM=4时，求点M的坐标；
（2）求 |OM||FM|的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标是 （1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因为 FM=(x0-1，y0)，OM=(x0，y0)，所以，FM•OM=x0(x0-1)+y20=x20+3x0=4，
解得 x₀=1，或 x₀=-4（舍）． 因为 y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．
（2）设点M（x，y），其中x≥0，|OM||FM|  =  x2+y2(x-1)2+y2  =  x2+4x(x+1)2  =  -3(x+1)2+2x+1+1．
设 t=1x+1(0＜t≤1)，则 |OM||FM|  =  -3t2+2t+1  =  -3(t-13)2+43．
因为 0＜t≤1，所以，当 t=13（即x=2）时，|OM||FM|取得最大值233．

解析

FM

考点

据考高分专家说，试题“已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。