请先阅读：设平面向量a=，b=，且a与b的夹角为θ，因为a•b=|a||b|cosθ，所以a•b≤|a||b|．即a1b1+a2b2

题文

请先阅读：
设平面向量a=（a₁，a₂），b=（b₁，b₂），且a与b的夹角为θ，
因为a•b=|a||b|cosθ，
所以a•b≤|a||b|．
即a1b1+a2b2≤a21+a22×b21+b22，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a₁，a₂，a₃，b₁，b₂，b₃∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)成立；
（II）试求函数y=x+2x-2+8-3x的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）证明：设空间向量a=（a₁，a₂，a₃），b=（b₁，b₂，b₃），且a与b的夹角为θ，
因为a•b=|a|•|b|cosθ，
所以a•b≤|a|•|b|，（3分）
即a1b1+a2b2+a3b3≤a21+a22+a23•b21+b22+b23（6分）
所以(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)，
当且仅当θ=0时，等号成立．（7分）
（II）设空间向量a=（1，1，1），b=(x，  2x-2，  8-3x)，且a与b的夹角为θ，（9分）
因为y=x+2x-2+8-3x=a•b，
所以y=x+2x-2+8-3x≤12+12+12•x+(2x-2)+(8-3x)，
即y≤3•6=32，（12分）
当且仅当θ=0（即a与b共线，且方向相同）时，等号成立．
所以当x=2x-2=8-3x时，
即x=2时，函数y=x+2x-2+8-3x有最大值ymax=32．（14分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“请先阅读：设平面向量a=（a1，a2），.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。