设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，x=a+(t2-k)b，y=-sa+tb，其中，k，t，s∈R．若x⊥y，求函数关系式s=f；（

题文

设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，x=a+(t2-k)b，y=-sa+tb，其中，k，t，s∈R．
（1）若x⊥y，求函数关系式s=f（t）；
（2）在（1）的条件下，若k=3，t∈[-2，3]，求s的最大值；
（3）实数k在什么范围内取值时？对该范围内的每一个确定的k值，存在唯一的实数t，使x•y=2-s． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a•b=0，
又∵x=a+(t2-k)b，y=-sa+tb，
当x⊥y时，
x•y=0
即[a+(t2-k)b]•[-sa+tb]=0
即-S+t³-kt=0
故s=t³-kt…（4分）
（2）∵k=3，
∴s=t³-3t，s'=3t²-3，
由s'=0⇒t₁=-1，t₂=1，
f（t）在（-∞，-1）上递增，（-1，1）上递减，（1，+∞）递增，
又∵f（-1）=2，f（3）=18，
∴s的最大值为18                                     …（10分）
（3）∵x•y=2-s，
∴-s+t³-kt=2-s，t³-2=kt，…（12分）
当t=0时，等式不成立；
当t≠0时，k=t2-2t，k′=2t+2t2=2(t3+1)t2=0⇒t=-1
k（t）在（-∞，-1）上递减，（-1，0）上递增，（0，+∞）递增，
结合图象可知k＜3时符合要求．…（16分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“设平面向量a，b满足|a|=|b|=1，.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。